tìm gtln của hàm số f(x) =căn (x-2) + căn ( 4-x)

Đáp án:

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow x = 3\]

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ:  \(2 \le x \le 4\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\,\forall a,b\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
 \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {a^2} + 2ab + {b^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\
 \Leftrightarrow a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} ,\,\,\,\,\,\forall a,b
\end{array}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {4 - x}  \le \sqrt {2.\left[ {\left( {x - 2} \right) + \left( {4 - x} \right)} \right]}  = \sqrt {2.2}  = 2\\
 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow x - 2 = 4 - x \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\)