Tìm GTLN của biểu thức sau: Q=-x+4 căn x+1 M =-4x + 6 căn x -2

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
MaxQ = 5\\
MaxM = \dfrac{1}{4}
\end{array}\) 

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
DK:x \ge 0\\
Q =  - x + 4\sqrt x  + 1\\
 =  - \left( {x - 4\sqrt x  - 1} \right)\\
 =  - \left( {x - 4\sqrt x  + 4 - 5} \right)\\
 =  - {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} + 5\\
Do:{\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0\\
 \to  - {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} \le 0\\
 \to  - {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} + 5 \le 5\\
 \to MaxQ = 5\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 = 0\\
 \to x = 4\\
M =  - 4x + 6\sqrt x  - 2\\
 =  - \left( {4x - 6\sqrt x  + 2} \right)\\
 =  - \left( {4x - 2.2\sqrt x .\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} - \dfrac{1}{4}} \right)\\
 =  - {\left( {2\sqrt x  - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4}\\
Do:{\left( {2\sqrt x  - \dfrac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0\\
 \to  - {\left( {2\sqrt x  - \dfrac{3}{2}} \right)^2} \le 0\\
 \to  - {\left( {2\sqrt x  - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}\\
 \to MaxM = \dfrac{1}{4}\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt x  - \dfrac{3}{2} = 0\\
 \to x = \dfrac{9}{{16}}
\end{array}\)