Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x;y)=\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2cy}\right)$ Suy ra $\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2cy}\right) = \dfrac12$ vô nghiệm.

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 ĐK: $\cos^2xy \ne 0 ⇔ \cos xy\ne 0 ⇔ xy \ne \dfrac{(2k+1)\pi}{2}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có:

$\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2xy} ≥ 2\sqrt{\cos^2xy.\dfrac1{\cos^2xy}}=2\sqrt{1} = 2$

$⇒ f(x;y)=\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2xy}\right) ≥ \log_2 2=1$

Dẫu $"="$ xảy ra khi $\cos xy=\pm 1 ⇔ xy=k\pi \ (k\in\mathbb{Z})$

Vậy $\min f(x;y)=1$ khi $xy=k\pi \ (k\in\mathbb{Z})$

Từ trên ta thấy $\log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2xy}\right) ≥ 1 \ ∀x;y$ nên ham số trên xác định.

$⇒ \log_2 \left(\cos^2xy+\dfrac1{\cos^2xy}\right) =\dfrac12 < 1$ nên vô nghiệm.