tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1)A = x + 4√ x +5 2) 3x+2√x+3

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
1)Min = 5\\
2)Min = 3
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
DK:x \ge 0\\
1)A = x + 4\sqrt x  + 5\\
 = x + 4\sqrt x  + 4 + 1\\
 = {\left( {\sqrt x  + 2} \right)^2} + 1\\
Do:\sqrt x  \ge 0\forall x \ge 0\\
 \to \sqrt x  + 2 \ge 2\\
 \to {\left( {\sqrt x  + 2} \right)^2} \ge 4\\
 \to {\left( {\sqrt x  + 2} \right)^2} + 1 \ge 5\\
 \to Min = 5\\
 \Leftrightarrow x = 0\\
2)B = 3x + 2\sqrt x  + 3\\
 = 3x + 2.\sqrt {3x} .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{3}\\
 = {\left( {\sqrt {3x}  + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + \dfrac{8}{3}\\
Do:\sqrt {3x}  \ge 0\forall x \ge 0\\
 \to \sqrt {3x}  + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\
 \to {\left( {\sqrt {3x}  + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \ge \dfrac{1}{3}\\
 \to {\left( {\sqrt {3x}  + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + \dfrac{8}{3} \ge 3\\
 \to Min = 3\\
 \Leftrightarrow x = 0
\end{array}\)