tìm giá trị nguyên của m để hàm số y= (m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x+4 nghịch biến trên khoảng (-vô cùng, + vô cùng) Help me

Đáp án:

`m∈{0;1}`

Giải thích các bước giải:

TXĐ: `D=RR`

`y'=3(m^2-1)x^2+2(m-1)x-1`

Hàm số đã cho nghịch biến trên R `<=>y'≤0∀x∈RR`

`⇔3(m^2-1)x^2+2(m-1)x-1≤0∀x∈RR` `(1)`

TH1: Xét `a=0=>m=+-1`

+ Với `m=1=>(1):-1<0∀x∈RR` $\text{(luôn đúng)}$

`=> m=1` thỏa mãn.

+ Với `m=-1=>(1):-4x-1<0<=>x> -1/4` không thỏa mãn

`=>m=-1` loại.

TH2: Xét `ane0=>mne+-1`

Khi đó: `(1)<=>`$\begin{cases} a<0\\Δ'\leq0\\ \end{cases}$`<=>`$\begin{cases} m^2-1<0\\(m-1)^2+3(m^2-1)\leq0\\ \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} -1<m<1\\2(m-1)(2m+1)\leq0\\ \end{cases}$`<=>`$\begin{cases} -1<m<1\\-\frac{1}{2}\leq m\leq1\\ \end{cases}$`<=>-1/2leqm<1`

Tổng kết 2 trường hợp ta có: `-1/2leqmleq1`

Vậy giá trị nguyên m thỏa mãn là `m∈{0;1}`

Đáp án:

$\begin{array}{l}
y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - x + 4\\
 \Rightarrow y' = 3.\left( {{m^2} - 1} \right).{x^2} + 2.\left( {m - 1} \right)x - 1
\end{array}$

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

Nên:

$\begin{array}{l}
y' \le 0\left( {khi:x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)} \right)\\
 \Rightarrow 3.\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 1 \le 0\left( * \right)\\
 + Khi:{m^2} - 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m =  - 1
\end{array} \right.\\
 + m = 1\,\left( * \right) \Rightarrow 0.{x^2} + 2.0.x - 1 \le 0\left( {tm} \right)\\
 + m =  - 1\left( * \right) \Rightarrow 0.{x^2} - 2x - 1 \le 0\left( {ktm} \right)\\
 + Khi:m \ne 1;m \ne  - 1\\
\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3.\left( {{m^2} - 1} \right) < 0\\
\Delta ' < 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < m < 1\\
{\left( {m - 1} \right)^2} - 3.\left( {{m^2} - 1} \right).\left( { - 1} \right) < 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < m < 1\\
{m^2} - 2m + 1 + 3{m^2} - 3 < 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < m < 1\\
4{m^2} - 2m - 2 < 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < m < 1\\
 - \dfrac{1}{2} < m < 1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} < m < 1\\
Vay\, - \dfrac{1}{2} < m \le 1
\end{array}$