tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: f(x)=x(10+căn(12-x^2))

Đáp án:

Giá trị lớn nhất là $11\sqrt[]{11}$ khi $x=\sqrt[]{11}$

Giá trị nhỏ nhất là $-11\sqrt[]{11}$ khi $x=-\sqrt[]{11}$

Giải thích các bước giải:

Tập xác định: $D=[-2\sqrt[]{3};2\sqrt[]{3}]$

$y'=10+\sqrt[]{12-x^2}+x.\dfrac{(-x)}{\sqrt[]{12-x^2}}$

$y'=0 ↔ (10+\sqrt[]{12-x^2})\sqrt[]{12-x^2}-x^2=0$

$↔ 10+\sqrt[]{12-x^2}=\dfrac{x^2}{\sqrt[]{12-x^2}}$

Đặt $\sqrt[]{12-x^2}=t$ $(t≥0)$, ta có:

$t^2=12-x^2 ↔ x^2=12-t^2$

$→ 10+t=\dfrac{12-t^2}{t^2}$

$↔ t^3+11t^2-12=0$

$→ t=1$ (thỏa mãn)

$→ \sqrt[]{12-x^2}=1$

$→ 12-x^2=1$

$↔ x^2=11$

$↔ x=±\sqrt[]{11}$

Ta có:

$f(-2\sqrt[]{3})=-20\sqrt[]{3}$

$f(-\sqrt[]{11})=-11\sqrt[]{11}$

$f(\sqrt[]{11})=11\sqrt[]{11}$

$f(2\sqrt[]{3})=20\sqrt[]{3}$

Vậy giá trị lớn nhất là $11\sqrt[]{11}$ khi $x=\sqrt[]{11}$

Giá trị nhỏ nhất là $-11\sqrt[]{11}$ khi $x=-\sqrt[]{11}$