Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x+5/(căn x) +2

Đáp án:

Không tồn tại x để biểu thức đạt GTLN

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
DK:x \ge 0\\
\dfrac{{x + 5}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{x - 4 + 9}}{{\sqrt x  + 2}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + 9}}{{\sqrt x  + 2}}\\
 = \left( {\sqrt x  - 2} \right) + \dfrac{9}{{\sqrt x  + 2}}\\
 = \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \dfrac{9}{{\sqrt x  + 2}} - 4\\
Do:x \ge 0\\
BDT:Co - si:\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \dfrac{9}{{\sqrt x  + 2}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x  + 2} \right).\dfrac{9}{{\sqrt x  + 2}}}  = 2.3\\
 \to \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \dfrac{9}{{\sqrt x  + 2}} \ge 6\\
 \to \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \dfrac{9}{{\sqrt x  + 2}} - 4 \ge 2\\
 \to Min = 2\\
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 2} \right) = \dfrac{9}{{\sqrt x  + 2}}\\
 \to {\left( {\sqrt x  + 2} \right)^2} = 9\\
 \to \sqrt x  + 2 = 3\\
 \to x = 1
\end{array}\)

⇒ Không tồn tại x để biểu thức đạt GTLN

Đáp án và giải thích các bước giải:

Điều kiện : `x≥0`

Đặt `A={x+5}/{\sqrt[x]+2}`

`={x-4+9}/{\sqrt[x]+2}`

`={(\sqrt[x]-2)(\sqrt[x]+2)+9}/{\sqrt[x]+2}`

`=(\sqrt[x]-2)+9/{\sqrt[x]+2}`

`=(\sqrt[x]+2)+9/{\sqrt[x]+2}-4`

Có : `x≥0⇒\sqrt[x]≥0⇒\sqrt[x]+2≥0⇒9/{\sqrt[x]+2}≥0`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được :

`(\sqrt[x]+2)+9/{\sqrt[x]+2}≥2\sqrt[(\sqrt[x]+2).{9}/{\sqrt[x]+2}]`

`⇔` `(\sqrt[x]+2)+9/{\sqrt[x]+2}≥2.3=6`

`⇒` `(\sqrt[x]+2)+9/{\sqrt[x]+2}-2≥6-2=4`

`⇔` `A≥2`

Dấu `=` xảy ra `⇔` `(\sqrt[x]+2)=9/{\sqrt[x]+2}`

`⇔` `(\sqrt[x]+2)^2=9`

`⇔` `\sqrt[x]+2=3`

`⇔` `\sqrt[x]=1`

`⇔` `x=1` `(tmdk)`

Vậy không tồn tại giá trị của `x` để `A` đạt giá trị lớn nhất