Tìm điều kiện của tham số $m$ để hai hệ phương trình có nghiệm chung: $\left\{\begin{array}{l} x+y-z+t=2m+1 \\ x+7y-5z-t=-m \end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{l} 2x+5y-2z+2t=2m+1 \\ 3x+7y-3z+3t=1 \end{array}\right.$

Lời giải:

Hai hệ phương trình có chung nghiệm khi hệ phương trình sau có  nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}
x+y-z+t=2m+1 \\
x+7y-5z-t=-m \\
2x+5y-2z+2t=2m+1 \\
3x+7y-3z+3t=1
\end{array}\right.$
Ta có:
$\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1&1&|2m+1\\1&7&-5&-1&|-m\\2&5&-2&2&|2m+1\\3&7&-3&3&|1\end{array}\right)$ 
$->\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1&1&|2m+1\\0&6&-4&-2&|-3m-1\\0&3&0&0&|-2m-1\\0&4&0& 0&|-6m-2\end{array}\right)$ 
$->\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1&1&|2m+1\\0&6&-4&-2&|-3m-1\\0&0&4&2&|-m-1\\0&0&0&0&|-10m-2\end{array}\right)$ 
=>$r(A)=r(\overline{A})<=>-10m-2=0<=>m=\frac{-1}{5}$
Vậy hai hệ phương trình có nghiệm chung khi $m=-\frac{1}{5}$