Tìm điều kiện của m,n để msinx-ncosx-3x nghịch biến R?
2 câu trả lời
Đáp án:
`m^2+n^2≤9`
Giải thích các bước giải:
Để hàm `y=msinx−ncosx−3x` nghịch biến trên `R` thì:
`y′=mcosx+nsinx−3≤0,∀x∈R`
`⇔mcosx+nsinx≤3∀x∈R`
`⇒(mcosx+nsinx)max=3` `(∗)`
Theo bất đẳng thức `Bunhiacopxky` có:
`(mcosx+nsinx)^2≤(m^2+n^2)(cos^2x+sin^2x)`
`=>(mcosx+nsinx)^2≤m^2+n^2`
`⇒mcosx+nsinx≤`$\sqrt{m^2+n^2}$
`=>(mcosx+nsinx)max=`$\sqrt{m^2+n^2}$ `(∗∗)`
Từ `(∗),(∗∗)=>y′≤0<=>`$\sqrt{m^2+n^2}$ `≤3⇔m^2+n^2≤9`
Đáp án:
\(m^{2}+n^{2} \leq 9\)
Giải thích các bước giải:
TXĐ: D=R
\(y'=m\cos x+n\sin x-3\)
Để hàm số nghịch biến trên R:
\(y' \leq 0\)
\(\Leftrightarrow m\cos x+n\sin x-3 \leq 0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{m^{2}+n^{2}}(\dfrac{m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}.\cos x+\dfrac{n}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}.\sin x) \leq 3\) (Tồn tại \(\alpha\) sao cho \(\sin \alpha =\dfrac{m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}\))
\(\Leftrightarrow \sqrt{m^{2}+n^{2}}.\sin (\alpha +x) \leq 3\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}} \geq \sin (\alpha +x)=h(x)\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}} \geq \max h(x)\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}} \geq 1\)
\(\Leftrightarrow m^{2}+n^{2} \leq 9\)
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
