•Tìm dạng toàn phương $q(x)$.Cho biết ma trận $q$ trong cơ sở chính tắc là: $A=\left(\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&2\end{array}\right)$ •Tìm dạng toàn phương $q(x)=3x_{1}^2-x_{2}^2+4x_{1}x_{2}$ trong $R^2$ đối với cơ sở $B={(1;2),(3;1)}$ Toán cao cấp 2.Giúp mìk với!!!

Lời giải:

•Ta có:

$q(x)=q(x_{1};x_{2})=[x]^{T}.A.[x]$

$=(x_{1}-x_{2}-x_{1}+2x_{2}).\left(\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right)$ 

$=(x_{1}-x_{2}).x_{1}+(-x_{1}+2x_{2}).x_{2}$ 

Vậy $q(x)=x_{1}^2+2x_{2}^2-2x_{1}x_{2}$

•Ta có:

$A=\left(\begin{array}{ccc}3&2\\2&-1\end{array}\right)$ 

$P=P_{E->B}=\left(\begin{array}{ccc}1&3\\2&1\end{array}\right)$ 

$=>P^{T}=\left(\begin{array}{ccc}1&2\\3&1\end{array}\right)$ 

$=>[q]_{B}=P^T.A.P=\left(\begin{array}{ccc}7&21\\21&38\end{array}\right)$ 

Vậy đổi biến $[x]=P[y]$,ta có dạng toàn phương trong cơ sở $B$ là:

$q(x)=7y_{1}^2+38y_{2}^2+42y_{1}y_{2}$