Tìm cực trị hàm số: $(x^2+y)^2-2xy(1+x)$

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
z_{\min} =- \dfrac14 \Leftrightarrow (x;y) = \left\{\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};-\dfrac{\sqrt2}{2}\right);\left(\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\right\}\\
\end{array}\) 

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\text{Đặt}\ z = (x^2 + y)^2 - 2xy(1 + x)\\
\Leftrightarrow z = x^4 - 2xy + y^2\\
\text{Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:}\\
\quad \begin{cases}z_x' = 0\\z_y' = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}4x^3 - 2y = 0\\-2x + 2y =0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = \dfrac{\sqrt2}{2}\\x = y = -\dfrac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}A = z_{xx}'' = 12x^2\\B = z_{xy}'' = - 2\\C = z_{yy}'' = 2
\end{cases}\\
+)\quad \text{Tại $M_1(0;0)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 0\\B = -2\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 4 >0\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_1(0;0)$}\\
+)\quad \text{Tại $M_2\left(\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 6 > 0\\B = -2\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = - 8 <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_2\left(\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right),\ z_{\min} =- \dfrac14$}\\
+)\quad \text{Tại $M_3\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 6 > 0\\B = -2\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = - 8 <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_3\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};-\dfrac{\sqrt2}{2}\right),\ z_{\min} =- \dfrac14$}\\
\end{array}\)