Tìm cực trị của hàm sau f(x,y)=xy(1-x-y)

Đáp án:

\(f_{\max} = \dfrac{1}{27}\Leftrightarrow (x;y) = \left(\dfrac13;\dfrac13\right)\) 

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad f(x,y) = xy(1-x-y)\\
\text{Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:}\\
\quad \begin{cases}f'_x = 0\\f'_y = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}-y(2x+y-1) =0\\-x(x +2y - 1) =0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}\\
\begin{cases}x = 0\\y = 1\end{cases}\\
\begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases}\\
\begin{cases}x = \dfrac13\\y = \dfrac13\end{cases}
\end{array}\right.\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}A = f_{xx}'' = -2y\\
B = f_{xy}'' =-2x - 2y + 1\\
C = f_{yy}'' = -2x
\end{cases}\\
+)\quad \text{Tại $M_1(0;0)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 0\\B = 1\\C = 0\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 1 > 0\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_1(0;0)$}\\
+)\quad \text{Tại $M_2(0;1)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = -2\\B = -1\\C = 0\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 1 > 0\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_2(0;1)$}\\
+)\quad \text{Tại $M_3(1;0)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 0\\B =- 1\\C = -2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 1 > 0\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_3(1;0)$}\\
+)\quad \text{Tại $M_4\left(\dfrac13;\dfrac13\right)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = -\dfrac23 <0\\B = -\dfrac13\\C = -\dfrac23\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -\dfrac13 < 0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực đại tại $M_4\left(\dfrac13;\dfrac13\right),\ f_{\max} = \dfrac{1}{27}$}\\
\end{array}\)