Tìm cực trị của hàm hai biến f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+5 Giải giúp bài này với ạ

Đáp án:

$\min  f = - 3 \Leftrightarrow (x;y) = \left\{\left(-\sqrt2;\sqrt2\right); \left(\sqrt2;-\sqrt2\right)\right\}$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
f(x,y) = x^4 + y^4 -2x^2 + 4xy - 2y^2 + 5\\
\text{Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình}\\
\quad \begin{cases}f_x' = 0\\f_y' = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}4(x^3 - x + y) = 0\\4(y^3 - y + x)  = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}\\\begin{cases}x = -\sqrt2\\y = \sqrt2\end{cases}\\\begin{cases}x = \sqrt2\\y = - \sqrt2\end{cases}\end{array}\right.\\
\Rightarrow \text{Hàm số có 3 điểm dừng $M_1(0;0);\ M_2\left(-\sqrt2;\sqrt2\right);\ M_3\left(\sqrt2;-\sqrt2\right)$}\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}A = f_{xx}'' =12x^2 - 4\\B = f_{xy}'' = 4\\C = f_{yy}'' = 12y^2 - 4\end{cases}\\
\bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_1(0;0)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = -4\\B = 4\\C = -4\end{cases}\\
\Rightarrow B^2 - AC = 0\\
\text{Giả sử $N(0 + \Delta x;0 + \Delta y)$ là điểm lân cận của $M_1(0;0)$}\\
\text{Ta có:}\\
\quad \Delta f = f(0;0) - f(0 + \Delta x; 0 + \Delta y)\\
\Leftrightarrow \Delta f = -(\Delta x)^4 - (\Delta y)^4 +2(\Delta x)^2 - 4\Delta x.\Delta y + 2(\Delta y)^2\\
\text{Khi đó:}\\
\begin{cases}\Delta x = 1;\ \Delta y  = 0\Rightarrow \Delta f = 1 >0\\
\Delta x = 1.5;\ \Delta y = 0 \Rightarrow \Delta f = -0,5625 <0\\
\Delta x = -1;\ \Delta y  = 0\Rightarrow \Delta f = 1 >0\\
\Delta x = -1.5;\ \Delta y = 0 \Rightarrow \Delta f = -0,5625 <0\end{cases}
\Rightarrow \Delta f\ \text{đổi dấu trong lân cận $M_1(0;0)$}\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_1(0;0)$}\\
\bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_2\left(-\sqrt2;\sqrt2\right)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 20 >0\\B = 4\\C =20\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -384 <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_2\left(-\sqrt2;\sqrt2\right);\ f_{\min} =- 3$}\\
\bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_3\left(\sqrt2;-\sqrt2\right)$ ta được:}\\
\begin{cases}A = 20 >0\\B = 4\\C =20\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -384 <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_3\left(\sqrt2;-\sqrt2\right);\ f_{\min} = -3$}\\
\end{array}\)