Tìm cực trị cảu hàm số sau: f(x;y)= -x^3+y^2+3x-4y+1

Đáp án:

$f_{\min} = -5 \Leftrightarrow (x;y) = (-1;2)$

Giải thích các bước giải:

$f(x,y) = -x^3 + y^2 + 3x -4y + 1$

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \quad \begin{cases}f_x' = 0\\f_y' = 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases}-3x^2 + 3 =0\\2y - 4 =0\end{cases}\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}\\\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}\end{array}\right.\\ \Rightarrow \text{Hàm số có hai điểm dừng}\ M_1(-1;2);\ M_2(1;2)\\ \text{Đặt}\ \begin{cases}A = f_{xx}'' = -6x\\B = f_{xy}'' = 0\\C = f_{yy}'' = 2\end{cases}\\ \bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_1(-1;2)$ ta có:}\\ \begin{cases}A = 6 >0\\B = 0\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = - 12 <0\\ \Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_1(-1;2);\ f_{\min} = -5$}\\ \bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_2(1;2)$ ta có:}\\ \begin{cases}A = -6 <0\\B = 0\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 12 >0\\ \Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_2(1;2)$} \end{array}$