Tìm cực trị cảu hàm số sau: f(x;y)= -x^3+y^2+3x-4y+1

Đáp án:

$f_{\min} = -5 \Leftrightarrow (x;y) = (-1;2)$

Giải thích các bước giải:

$f(x,y) = -x^3 + y^2 + 3x -4y + 1$

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\quad \begin{cases}f_x' = 0\\f_y' = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}-3x^2 + 3 =0\\2y - 4 =0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}\\\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}\end{array}\right.\\
\Rightarrow \text{Hàm số có hai điểm dừng}\ M_1(-1;2);\ M_2(1;2)\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}A = f_{xx}'' = -6x\\B = f_{xy}'' = 0\\C = f_{yy}'' = 2\end{cases}\\
\bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_1(-1;2)$ ta có:}\\
\begin{cases}A = 6 >0\\B = 0\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = - 12 <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_1(-1;2);\ f_{\min} = -5$}\\
\bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_2(1;2)$ ta có:}\\
\begin{cases}A = -6 <0\\B = 0\\C = 2\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 12 >0\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_2(1;2)$}
\end{array}\)