Tìm công thức truy hồi để tính: $I=\int\limits {\frac{dx}{(x-2)(x^2+1)^2}} \, $

Lời giải:

Để tính tích phân $I$ ta phân tích hàm dưới dấu tích phân bằng phương pháp phân tích từng bước.

$\frac{1}{(x-2)(x^2+1)^2}=\frac{1}{(x-2)(x^2+1)}.\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{5}.(\frac{1}{x-2}-\frac{x+2}{x^2+1}).\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{5}.\frac{1}{(x-2)(x^2+1)}-\frac{1}{5}.\frac{x+2}{(x^2+1)^2}=\frac{1}{25}.\frac{1}{x-2}-\frac{1}{25}.\frac{x+2}{x^2+1}-\frac{1}{5}.\frac{x+2}{(x^2+1)^2}=\frac{1}{25}.\frac{1}{x-2}-\frac{1}{50}.\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2}{25}.\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{10}.\frac{2x}{(x^2+1)^2}-\frac{2}{5}.\frac{1}{(x^2+1)^2}$
=>
$I=\frac{1}{25}$$\int\limits {\frac{dx}{x-2}} \, -\frac{1}{50}$ $\int\limits {\frac{2x}{x^2+1}} \, dx-\frac{2}{25}$ $\int\limits {\frac{dx}{x^2+1}} \, -\frac{1}{10}$ $\int\limits{\frac{2x}{(x^2+1)^2}} \, dx-\frac{2}{5}$ $\int\limits {\frac{dx}{(x^2+1)^2}} \, =\frac{1}{25}ln|x-2|-\frac{1}{50}ln(x^2+1)-\frac{2}{25}arctgx+\frac{1}{10}.\frac{1}{x^2+1}-\frac{2}{5}.\frac{1}{x^2+1}$
Theo công thức truy hồi,ta có:
$J=$ $\int\limits {\frac{dx}{(x^2+1)^2}} \, =\frac{x}{2.(x^2+1)}+\frac{1}{2}$ $\int\limits {\frac{dx}{x^2+1}} \, =\frac{x}{2.(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctgx+C_1$ 
Từ đó,ta có:
$I=\frac{1}{50}.ln\frac{(x-2)^2}{x^2+1}+\frac{1}{10}.\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{5}.\frac{x}{x^2+1}-\frac{7}{25}arctgx+C$