Tìm các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = x^3 + (m-1)x^2 + (3m+1)x +2 không có cực trị.

Đáp án:

$m = \left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11\right\}$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 + (m -1)x^2 + (3m +1)x +2$

$TXD: D = \Bbb R$

$y' = 3x^2 + 2(m-1)x + 3m +1$

Hàm số không có cực trị

$\Leftrightarrow y'$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' \leq 0$

$\Leftrightarrow (m -1)^2 - 3(3m + 1)\leq 0$

$\Leftrightarrow m^2- 2m + 1 - 9m - 3 \leq 0$

$\Leftrightarrow m^2 -11m -2 \leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{11 - \sqrt{129}}{2} \leq m \leq \dfrac{11 +\sqrt{129}}{2}$

Do $m \in \Bbb Z^+$

nên $m = \left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11\right\}$

$y'=3x^2+2(m-1)x+3m+1$

Hàm số không có cực trị khi $y'=0$ không có $2$ nghiệm phân biệt

$↔ Δ'≤0$

$↔ m^2-2m+1-3(3m+1)≤0$

$↔ m^2-11m-2≤0$

$↔ \dfrac{11-\sqrt[]{129}}{2}≤m≤\dfrac{11+\sqrt[]{129}}{2}$

Vì $m∈\mathbb{Z}^+$ nên $m∈\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11\}$