Tìm các giá trị m để hàm số y=-x^3+3(m+1)x^2-(3m^2+7m-1)x+m^2-1 có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

Đáp án:

 `m<1`

Giải thích các bước giải:

Ta có: `y'=-3x^2+6(m+1)x-(3m^2+7m-1)`

Yêu cầu bài toán `⇔` `y'=0` có hai nghiệm `x_1,x_2` thỏa điều kiện \(\left[ \begin{array}{l}x_1<1<x_2&(1)\\x_1<x_2\leq1&(2)\end{array} \right.\)

Theo Viet, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2(m+1) \\x_1x_2=\frac{3m^2+7m-1}{3}\end{cases}$

Với `x_1<1<x_2` `(1)⇔(x_1-1)(x_2-1)<0`

`⇔ x_1x_2-(x_1+x_2)+1<0`

`⇔\frac{3m^2+7m-1}{3}-2(m+1)+1<0`

`⇔3m^2+m-4<0`

`⇔ -4/3<m<1` `(a)`

Với `x_1<x_2\leq1` `(2)⇔ ` $\begin{cases}Δ'>0\\x_1+x_2<2 \\(x_1-1)(x_2-1)\geq0\end{cases}$

$⇔ m\leq\frac{-4}{3}$ `(b)`

Từ `(a)` và `(b)` `⇒m<1` thỏa yêu cầu bài toán