Tìm các giá trị m để hàm số y=mx^3-(2m+1)x^2-mx+1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu đồng thời điểm cực đại của đồ thị hàm số có hoành độ lớn hơn 1
2 câu trả lời
Đáp án:
$m<-1$
Giải thích các bước giải:
Ta có: `y'=3mx^2-2(2m+1)x-m`
Nếu `m=0` thì `y'=-2x` khi đó hàm số chỉ có 1 điểm cực trị
`⇒` `m=0` không thỏa mãn
Nếu `m\ne0` thì phương trình `y'=0` là phương trình bậc hai có `a.c=-3m^2<0`
`⇒` phương trình `y'=0` luôn có hai nghiệm trái dấu
`⇒` hàm số luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu
Khi đó hai nghiệm của phương trình `y'=0` là:
`x_1=\frac{2m+1+\sqrt[7m^2+4m+1]}{3m}`
`x_2=\frac{2m+1-\sqrt[7m^2+4m+1]}{3m}`
Theo yêu cầu bài toán `⇔` $\begin{cases}m<0 \\\frac{2m+1-\sqrt[]{7m^2+4m+1}}{3m}>1\end{cases}$
`⇔` $\begin{cases}m<0 \\2m+1-\sqrt[]{7m^2+4m+1}<3m\end{cases}$
`⇔` $\begin{cases}m<0 \\\sqrt[]{7m^2+4m+1}>1-m\end{cases}$
`⇔` $\begin{cases}m<0 \\7m^2+4m+1>1+m^2-2m &\text{(do m<0 ⇒ 1-m>0)}\end{cases}$
`⇔` $\begin{cases}m<0 \\6m^2+6m>0\end{cases}$
`⇔` $\begin{cases}m<0 \\\left[ \begin{array}{l}m<-1\\m>0\end{array} \right.\end{cases}$
`⇔` $m<-1$
Vậy $m<-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: $m < - 1$
Giải thích các bước giải:
- Tập xác định $ D = R$
$ y'= 3mx² - 2(2m + 1)x - m$
Hàm số có cực đại; cực tiểu $⇔ PT : y' = 0 (*)$ có 2 nghiệm pb
$ Δ' = (2m + 1)² - 3m(-m) = (2m + 1)² + 3m² > 0$
Vậy với $∀m \neq0 ⇒ (*)$ luôn có 2 nghiệm pb $x_{1}; x_{2}$ thỏa
$ x_{1} + x_{2} = \frac{2(2m + 1)}{3m} (1); x_{1}x_{2} = - \frac{1}{3} (2)$
Từ $(2)$ không mất tính tổng quát giả thiết $: x_{1} < 0 < x_{2}$
Hàm số đạt cực đại tại $x_{2} > x_{1} ⇒ m < 0 (3)$
$(2) ⇒ x_{2} = - \frac{1}{3x_{1}} > 1 (gt) ⇒ x_{1} > - \frac{1}{3}$
$ ⇒ x_{1} + x_{2} > 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ⇔ \frac{2(2m + 1)}{3m} > \frac{2}{3} $
$ ⇔ 2m + 1 < m ⇔ m < - 1 $ ( vì $m < 0$)
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
