Tìm các giá trị m để hàm số y = m^2x - sin(mx) nghịch biến trên R

Đáp án: $m = 0$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
y = {m^2}x - \sin \left( {mx} \right)\\
y' \le 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - m.\cos \left( {mx} \right) \le 0\forall x\\
 \Leftrightarrow m.\cos \left( {mx} \right) \ge {m^2}\forall x\\
 + m = 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0\left( {tm} \right)\\
 + Khi:m > 0\\
 \Leftrightarrow \cos \left( {mx} \right) \ge m\forall x\\
Do:\cos \left( {mx} \right) \ge  - 1\forall x\\
 \Leftrightarrow m \le  - 1\left( {ktm} \right)\\
 + Khi:m < 0\\
 \Leftrightarrow \cos \left( {mx} \right) \le m\forall x\\
Do:\cos \left( {mx} \right) \le 1\forall x\\
 \Leftrightarrow m \ge 1\left( {ktm} \right)\\
Vậy\,m = 0
\end{array}$

$y'=m^2-m\cos (mx)$

ĐK: $y'\le 0\quad\forall x\in\mathbb{R}$

+ Nếu $m=0$: $y'=0$ (loại)

+ Nếu $m>0$:

$-1\le -\cos(mx)\le 1$

$\to m^2-m\le y\le m^2+m$

$\to m^2+m\le 0$

$\to -1\le m\le 0$ (loại)

+ Nếu $m<0$:

$-1\le -\cos(mx)\le 1$

$\to m^2-m\le y\le m^2+m$

$\to m^2+m\le 0$

$\to -1\le m\le 0$

Vậy $-1\le m<0$