tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=-x^(3)+(m+1)x^(2)+m-1 đồng biến trên đoạn có độ dài =3 Nhờ mọi người giải giúp mình bài này ạ cảm ơn ạ

Đáp án:

$m\in \left\{-\dfrac{11}{2};\dfrac{7}{2}\right\}$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = - x^3 + (m+1)x^2 + m - 1$

$TXD: D = \Bbb R$

$\quad y' = -3x^2 + 2(m+1)x$

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi $\Delta_{y'} >0$

$\Leftrightarrow (m+1)^2 >0$

$\Leftrightarrow m \ne -1$

Áp dụng định lý Viète với hai điểm cực trị $x_1, x_2$ ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2(m+1)}{3}\\x_1x_2 = 0\end{cases}$

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng `3`

$\Leftrightarrow |x_1 - x_2| = 3$

$\Leftrightarrow (x_1 - x_2)^2 = 9$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 9$

$\Leftrightarrow \dfrac{4(m+1)^2}{9} = 9$

$\Leftrightarrow (m+1)^2 = \dfrac{81}{4}$

$\Leftrightarrow |m+1| = \dfrac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = \dfrac72\\m = - \dfrac{11}{2}\end{array}\right.$ (nhận)

Vậy $m\in \left\{-\dfrac{11}{2};\dfrac{7}{2}\right\}$