Tìm các giá trị của m để hàm số y=( tanx + m) /( mtanx+1) nghịch biến trên khoảng (0;π\4)

Đáp án:

\[m > 1\]

Giải thích các bước giải:

 Đặt \(t = \tan x\), ta có:

Hàm số \(y = \tan \,x\) là hàm đồng biến trong khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Nên \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t = \tan \,x \in \left( {0;1} \right)\)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị của \(m\) thỏa mãn \(y = \dfrac{{t + m}}{{mt + 1}}\) nghịch  biến trên khoảng từ \(\left( {0;1} \right)\)

Do đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
y' < 0,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
mt + 1 \ne 0,\,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' = \dfrac{{\left( {t + m} \right)'.\left( {mt + 1} \right) - \left( {mt + 1} \right)'.\left( {t + m} \right)}}{{{{\left( {mt + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
m \ne \dfrac{{ - 1}}{t},\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' = \dfrac{{\left( {mt + 1} \right) - m\left( {t + m} \right)}}{{{{\left( {mt + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
m \ge  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{{\left( {mt + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\
m \ge  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - {m^2} < 0\\
m \ge  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} > 1\\
m \ge  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1
\end{array}\)

Vậy \(m > 1\)