tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đths y=x+√(x^2-3x+1)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Phương trình đường tiệm cận $ y = ax + b$

$ a_{1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x + \sqrt[]{x² - 3x + 1}}{x}$ 

$ = \lim_{x \to + \infty} \frac{x + x\sqrt[]{1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x²}}}{x}$

$ = \lim_{x \to + \infty} 1 + \sqrt[]{1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x²}} = 1 + \sqrt[]{1 - 0 + 0} = 2$

$ b_{1}= \lim_{x \to + \infty}(y - 2x) = \lim_{x \to + \infty}(\sqrt[]{x² - 3x + 1} - x)$ 

$ = \lim_{x \to + \infty}\frac{(x² - 3x + 1) - x²}{\sqrt[]{x² - 3x + 1} + x} = \lim_{x \to + \infty}\frac{1 - 3x}{\sqrt[]{x² - 3x + 1} + x}$

$ = \lim_{x \to + \infty}\frac{x(\frac{1}{x} - 3)}{x(\sqrt[]{1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x²}} + 1)} = \frac{0 - 3}{\sqrt[]{1 - 0 + 0} + 1} = - \frac{3}{2}$

Vậy phương trình tiệm cận thứ nhất là $: y = 2x - \frac{3}{2}$ khi $x → + ∞$

$ a_{2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x + \sqrt[]{x² - 3x + 1}}{x}$ 

$ = \lim_{x \to - \infty} \frac{x - x\sqrt[]{1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x²}}}{x} = $

$ = \lim_{x \to - \infty} 1 - \sqrt[]{1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x²}} = 1 - \sqrt[]{1 - 0 + 0} = 0$

$ b_{2} = \lim_{x \to - \infty}(y - 0x) = \lim_{x \to - \infty}(x + \sqrt[]{x² - 3x + 1})$ 

$ = \lim_{x \to - \infty}\frac{(x² - 3x + 1) - x²}{\sqrt[]{x² - 3x + 1} + x} = \lim_{x \to - \infty}\frac{1 - 3x}{\sqrt[]{x² - 3x + 1} - x}$

$ = \lim_{x \to - \infty}\frac{- x(3 - \frac{1}{x})}{- x(\sqrt[]{1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x²}} + 1)} = \frac{3 - 0}{(\sqrt[]{1 - 0 + 0} + 1)} = \frac{3}{2}$

Vậy phương trình tiệm cận thứ hai là $: y = \frac{3}{2}$ khi $x → - ∞$