Tìm a đê hpt có nghiêmk duy nhất Ay+x+y=a+1 X^2y+xy^2=a

Đáp án:

Đặt $S = x + y, P = xy$

$\to \left\{ \begin{matrix} S+P=a+1\\SP=a \end{matrix}\right.$

Theo Vi-ét: $P$ là nghiệm của phương trình: $X^2-(a +1)X + a = 0\qquad  (1)$

$x;y$ lại là nghiệm của phương trình: $X^2 -S.X + P = 0\qquad (2)$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, thì $(2)$ có nghiệm duy nhất 

$→\Delta _{(2)} = 0 \Leftrightarrow S^2 = 4P \Leftrightarrow x = y$

\[\left\{ \begin{matrix} x^2+2x=a+1\\2x^3=a \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^2+2x-(a+1)=0 \,\,\,\,\,\,(*)\\x=\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}} \end{matrix}\right.\]

Để hệ có nghiệm duy nhất thì $(*)$ có duy nhất 1 nghiệm $x=\dfrac{-2}{2.1}=-1\Rightarrow \sqrt[3]{\dfrac{a}{2}}=-1\Leftrightarrow a=-2$

Thử lại thấy đúng, Kết luân giá trị cần tìm là $a=-2$