Tìm `a` (có thể ko nguyên) để `\frac{2(a-2)}{a+2}` nguyên Biết `a>=0;a\ne-2;a\ne 1`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `(2(a-2))/(a+2)`

`=(2a-4)/(a+2)`

`=(2a+4-8)/(a+2)`

`=(2a+4)/(a+2)-8/(a+2)`

`=(2(a+2))/(a+2)-8/(a+2)`

`=2-8/(a+2)`

 Để biểu thức trên nguyên thì `2-8/(a+2)` nguyên

  Mà `2` nguyên

 `=>8/(a+2)` phải nguyên

 Để `8/(a+2)` nguyên 

 `=>(a+2)∈U(8)={±1; ±2; ±4; ±8}`

 `=>a+2∈{-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8}`

     `=>a∈{-10; -6; -4; -3; -1; 0; 2; 4}`

 Vì `a>=0; a ne-2; a ne1`

  `=>a∈{0; 2; 4}`

 Vậy `a∈{0; 2; 4}` thì `(2(a-2))/(a+2)` nguyên

Đáp án:

`a\in {0;2/3;2;6}`

Giải thích các bước giải:

Đặt `{2(a-2)}/{a+2}=k\quad (k\in ZZ)`

`=> 2(a-2)=k(a+2)`

`=>2a-4=ak+2k`

`=>2a-ak=2k+4`

`=>a(2-k)=2k+4` `(1)`

Nếu `k=2`

`(1)<=>0=4` (vô lý)

`=>k\ne 2`

`(1)=>a={2k+4}/{2-k}`

Vì `a\ge 0` (theo đề bài)

`=>{2k+4}/{2-k}\ge 0`

`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}2k+4\ge 0\\2-k>0\end{cases}\\\begin{cases}2k+4\le 0\\2-k<0\end{cases}\end{array}\right.$

`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}k\ge -2\\k<2\end{cases}\\\begin{cases}k\le -2\\k>2\end{cases}\ (loại)\end{array}\right.$

`=>-2\le k<2`

Vì `k\in ZZ`

`=>k\in {-2;-1;0;1}`

$\\$

+) `TH1: k=-2`

`=>{2(a-2)}/{a+2}=-2`

`=>2a-4=-2a-4`

`=>4a=0`

`=>a=0` (thỏa mãn)

$\\$

+) `TH2: k=-1`

`=>{2(a-2)}/{a+2}=-1`

`=>2a-4=-a-2`

`=>3a=2`

`=>a=2/3` (thỏa mãn)

$\\$

+) `TH3: k=0`

`=>{2(a-2)}/{a+2}=0`

`=>2(a-2)=0`

`=>a-2=0`

`=>a=2` (thỏa mãn)

$\\$

+) `TH4: k=1`

`=>{2(a-2)}/{a+2}=1`

`=>2a-4=a+2`

`=>a=6` (thỏa mãn)

$\\$

Vậy `a\in {0;2/3;2;6}` thỏa mãn đề bài