Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x÷(x-1)tại điểm có tung độ bằng 2 có phương trình

Đáp án:

\[y =  - x + 4\]

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ:  \(x \ne 1\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm \(x = a\) là:

\[d:\,\,\,\,\,\,y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\]

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{x}{{x - 1}}\\
y' = \frac{{x'\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)'.x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x - 1} \right) - x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Điểm \(A\) thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 2, ta có:

\({y_A} = 2 \Leftrightarrow \frac{{{x_A}}}{{{x_A} - 1}} = 2 \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_A} - 2 \Leftrightarrow {x_A} = 2\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {2;2} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}
d:\,\,\,\,\,y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}}\left( {x - 2} \right) + 2\\
 \Leftrightarrow y =  - \left( {x - 2} \right) + 2\\
 \Leftrightarrow y =  - x + 4
\end{array}\)