Thiên tài toán học đâu rồi vào giải câu này nào!!!(Không có trên mạng) 1.Tính: $lim_{x->0}\frac{4ln(1+x)-4x+2x^2-\frac{4}{3}x^3+x^4}{6sinx-6x+x^3}$ 2.Cho $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}5&0&0\\0&5&0\\0&0&1\end{array}\right)$.Tính $A^{2020}$?

Lời giải:

1.

Ta có:

$4ln(1+x)-4x+2x^2-\frac{4}{3}x^3+x^4$
$=4(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+x^5\epsilon(x))-4x+2x^2-\frac{x^3}{3}+x^4$
$=\frac{4x^5}{5}+x^5\epsilon(x)$~$\frac{4x^5}{5}$ khi $x→0$
$6sinx-6x+x^3=6.(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+x^6\epsilon(x))-6x+x^3$
$=\frac{1}{20}x^5+x^6\epsilon(x)$~$\frac{1}{20}x^5$ khi $x→0$
$⇒\frac{4ln(1+x)-4x+2x^2-\frac{4}{3}x^3+x^4}{6sinx-6x+x^3}$~$\frac{\frac{4}{5}x^5}{\frac{1}{20}x^5}→16$ khi $x→0$

2.

Ta có:

$(P^{-1}AP)^{2020}⇔P^{-1}A^{2020}P=$$\left(\begin{array}{ccc}5^{2020}&0&0\\0&5^{2020}&0\\0&0&1\end{array}\right)⇔A^{2020}=P$$\left(\begin{array}{ccc}5^{2020}&0&0\\0&5^{2020}&0\\0&0&1\end{array}\right)P^{-1}$ 
Với $P=$$\left(\begin{array}{ccc}-1&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\right)$ ta tìm được $P^{-1}=\frac{1}{2}$$\left(\begin{array}{ccc}-1&1&0\\0&0&2\\1&1&0\end{array}\right)$ .Từ đó,ta có:
$A^{2020}=P$$\left(\begin{array}{ccc}5^{2020}&0&0\\0&5^{2020}&0\\0&0&1\end{array}\right)P^{-1}=$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1+5^{2020}}{2}&\frac{1-5^{2020}}{2}&0\\\frac{1-5^{2020}}{2}&\frac{1+5^{2020}}{2}&0\\0&0&5^{2020}\end{array}\right)$