Thầy mình bảo học sinh về nhà tự ra đề. Một bài toán tích phân vừa kết hợp phương pháp đổi biến vừa kết hợp phương pháp từng phần. bạn nào chỉ mình với bạn ra đề rồi giải chi tiết giùm mình. nếu có thể bạn ra một đề toán giải theo phương pháp sáng tạo một chút. làm theo hình thức tự luận. mình cám ơn.

Tính tích phân \(K = \int\limits_0^1 {2x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)dx} \)

Giải:

Đặt \(1 + {x^2} = t \Rightarrow 2xdx = dt\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1,x = 1 \Rightarrow t = 2\)

\( \Rightarrow K = \int\limits_1^2 {\ln tdt} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow K = \left. {x\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {dx}  = \left( {2.\ln 2 - 1.\ln 1} \right) - \left. x \right|_1^2\\ = 2\ln 2 - \left( {2 - 1} \right) = 2\ln 2 - 1\end{array}\)