Thầy cô giải giúp em bài toán 12 ạ Biết $\int\limits^ \, (1-cosx)$^{2}dx =ax+bsinx+csin2x+c Khi đó a+b+c bằng: -1/4 15/4 -3/4 13/4

Đáp án:

\[a + b + c =  - \frac{1}{4}\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\int {{{\left( {1 - \cos x} \right)}^2}dx} \\
 = \int {\left( {1 - 2\cos x + {{\cos }^2}x} \right)dx} \\
 = \int {\left[ {\frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 2\cos x + \frac{3}{2}} \right]dx} \\
 = \int {\left[ {\frac{1}{2}\cos 2x - 2\cos x + \frac{3}{2}} \right]dx} \\
 = \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx}  - 2\int {\cos xdx}  + \frac{3}{2}\int {dx} \\
 = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sin 2x - 2\sin x + \frac{3}{2}x + C\\
 = \frac{3}{2}x - 2\sin x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{3}{2}\\
b =  - 2\\
c = \frac{1}{4}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow a + b + c =  - \frac{1}{4}
\end{array}\)

Vậy \(a + b + c =  - \frac{1}{4}\)