tất cả các giá trị của m để hàm số y=x^3 -3mx^2+3(2m-1)x+1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2

Đáp án:

\[\left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 1\\
 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {2m - 1} \right)\\
y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 3\left( {2m - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + \left( {2m - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) - \left( {2m - 1} \right)x + \left( {2m - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - \left( {2m - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x - \left( {2m - 1} \right)} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2m - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2 khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2m - 1 \ne 1\\
\left| {\left( {2m - 1} \right) - 1} \right| = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
\left| {2m - 2} \right| = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
\left[ \begin{array}{l}
2m - 2 = 2\\
2m - 2 =  - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right.\)