Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có: tan a =sin a/cos a ; cot a =cosa/sin a , tan a. cot a =1 , sin^2a+cos^2a=1

Giả sử `ΔABC` vuông tại `A` 

a) Gọi `\alpha` là $\widehat{C}$ ta có:

`\tan\alpha=(\sin\alpha)/(\cos\alpha)`

`\tanC=(\sinC)/(\cosC)`

`\tanC=\sinC:\cosC`

`\tanC=(AB)/(BC):(AC)/(BC)`

`\tanC=(AB)/(BC).(BC)/(AC)`

`\tanC=(AB)/(AC)`

Vậy `\tan\alpha=(\sin\alpha)/(\cos\alpha)` `(đpcm)`

Gọi `\alpha` là $\widehat{C}$ ta có:

`\tan\alpha=(\cos\alpha)/(\sin\alpha)`

`\cotC=(\cosC)/(\sinC)`

`\cotC=\cosC:\sinC`

`\cotC=(AC)/(BC):(AB)/(BC)`

`\cotC=(AC)/(BC).(BC)/(AB)`

`\cotC=(AC)/(AB)`

Vậy `\cot\alpha=(\cos\alpha)/(\sin\alpha)` `(đpcm)`

b) Gọi `alpha` là $\widehat{B}$ ta có:

`\tan\alpha.\cot\alpha`

`=\tanB.\cotB`

`=(AC)/(AB).(AB)/(AC)`

`=1`

Vậy `\tan\alpha.\cot\alpha=1` `(đpcm)`

c) Gọi `\alpha` là $\widehat{B}$ ta có:

`\sin^2\alpha+\cos^2\alpha`

`=\sin^2B+\cos^2B`

`=((AC)/(BC))^2+((AB)/(BC))^2`

`=(AC^2)/(BC^2)+(AB^2)/(BC^2)`

`=(AC^2+AB^2)/(BC^2)`

`=(BC^2)/(BC^2)`

`=1`

Vậy `\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1` `(đpcm)`