So sánh $\sqrt2^{\large\sqrt3}$ và $\sqrt3^{\large\sqrt2}$.

Đáp án:

$\sqrt2^{\sqrt3}< \sqrt3^{\sqrt2}$

Giải thích các bước giải:

Xét $y=f(x) = \dfrac{\ln x}{x},\ \ x >0$

$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$

$f'(x) = 0\Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow x = e$

Bảng xét dấu:

$\begin{array}{c|ccc}x&0&&e&&+\infty\\\hline f'(x)&&+&0&-&\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu, ta được:

Hàm số $y =  f(x)$ đồng biến trên $(0;e)$

Do đó:

$\quad f\left(\sqrt2\right) < f\left(\sqrt3\right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{\ln\sqrt2}{\sqrt2} < \dfrac{\ln\sqrt3}{\sqrt3}$

$\Leftrightarrow \sqrt3\ln\sqrt2 < \sqrt2\ln\sqrt3$

$\Leftrightarrow \ln\sqrt2^{\sqrt3} < \ln\sqrt3^{\sqrt2}$

$\Leftrightarrow \sqrt2^{\sqrt3}< \sqrt3^{\sqrt2}$