Số phức z=(1+i)+(1+i)^2+...+(1+i)^2018 phần ảo của z có giá trị là bao nhiêu

Đáp án:

\[{2^{1009}} + 1\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
S = q + {q^2} + {q^3} + ..... + {q^n}\\
 \Leftrightarrow q.S = {q^2} + {q^3} + {q^4} + ....... + {q^{n + 1}}\\
 \Rightarrow q.S - S = \left( {{q^2} + {q^3} + {q^4} + ....... + {q^{n + 1}}} \right) - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ..... + {q^n}} \right)\\
 \Leftrightarrow S.\left( {q - 1} \right) = {q^{n + 1}} - q\\
 \Rightarrow S = \frac{{{q^{n + 1}} - q}}{{q - 1}}\\
z = \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ..... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}}\\
 \Leftrightarrow z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2019}} - \left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right) - 1}}\\
 \Leftrightarrow z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2019}} - \left( {1 + i} \right)}}{i}\\
{\left( {1 + i} \right)^2} = {1^2} + 2i + {i^2} = 2i\,\,\,\,\,\left( {{i^2} =  - 1} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {1 + i} \right)^{2019}} = \left( {1 + i} \right).{\left( {1 + i} \right)^{2018}} = \left( {1 + i} \right).{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1009}} = \left( {1 + i} \right).{\left( {2i} \right)^{1009}} = \left( {1 + i} \right){.2^{1009}}.{i^{1009}} = \left( {1 + i} \right){.2^{1009}}.{\left( {{i^4}} \right)^{252}}.i = \left( {1 + i} \right){.2^{1009}}{.1^{252}}.i = {2^{1009}}.\left( {i + {i^2}} \right) = {2^{1009}}.\left( {i - 1} \right)\\
 \Rightarrow z = \frac{{{2^{1009}}.\left( {i - 1} \right) - \left( {1 + i} \right)}}{i} = \frac{{{2^{1009}}.\left( {{i^2} - i} \right) - \left( {i + {i^2}} \right)}}{{{i^2}}}\\
 = \frac{{{2^{1009}}.\left( { - 1 - i} \right) - \left( {i - 1} \right)}}{{ - 1}} = \frac{{\left( { - {2^{1009}} + 1} \right) + \left( { - {2^{1009}} - 1} \right)i}}{{ - 1}} = {2^{1009}} - 1 + \left( {{2^{1009}} + 1} \right)i
\end{array}\)

Vậy phần ảo của số phức đã cho bằng \({2^{1009}} + 1\)