Số giá trị nguyên nhỏ hơn $2020$ của tham số $m$ để phương trình $log_{6}(2020x+m)=log_{4}1010x$ có nghiệm là

Đáp án:

$2022$

Giải thích các bước giải:

$\quad \log_6(2020x + m)= \log_41010x$

Đặt $\log_6(2020x + m)= \log_41010x = t$

$\Rightarrow \begin{cases}6^t = 2020x + m\\4^t = 1010x\end{cases}$

Ta được:

$\quad 2.4^t = 6^t - m$

$\Leftrightarrow 6^t - 2.4^t = m$

Xét $f(t)= 6^t - 2.4^t$

$\Rightarrow f'(t)= 6^t\ln6 - 4.4^t\ln2$

$f'(t)= 0 \Leftrightarrow t \approx 1,1$

Bảng xét dấu:

$\begin{array}{c|ccc}t&-\infty&&1,1&&+\infty\\\hline f'(t)&&-&0&+&\end{array}$

Ta được:

$\min f(t)= f(1,1)\approx - 2,01$

Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow f(t)= m$ có nghiệm

$\Leftrightarrow y = m$ cắt $y = f(t)$ tại ít nhất một điểm

$\Leftrightarrow - 2,01 \leqslant m$

Ta lại có: $m < 2020$

nên $- 2,01 \leqslant m < 2020$

mà $m\in \Bbb Z$

Do đó: $m\in\underbrace{\{-2;-1;0;\dots;2018;2019\}}_{\text{2022 giá trị m}}$