1 câu trả lời
Đáp án:
$x=\dfrac{\pi}2+k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$
Lời giải:
Ta có
$\sin^2x \leq 1$ và $\cos^2(4x) \leq 1$ với mọi $x$.
Suy ra
$\sin^2x + \cos^2(4x) \leq 2$ với mọi $x$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$\sin^2x = \cos^2(4x) = 1$
TH1: $\sin x = \cos(4x) = 1$
Suy ra
$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $4x = 2k\pi$
hay
$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{k\pi}{2}$
Kết hợp hai trường hợp ta có $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
TH2: $\sin x = \cos(4x) = -1$
Khi đó
$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $4x = \pi + 2k\pi$
suy ra
$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$.
Kết hợp hai nghiệm ta thấy 2 nghiệm ko có điểm chung. Vậy trường hợp này vô nghiệm.
TH3: $\sin x = 1$ và $\cos(4x) = -1$
Khi đó
$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$
Kết hợp hai nghiệm ta thấy 2 nghiệm ko có điểm chung. Trường hợp này vô nghiệm.
TH4: $\sin x = -1$ và $\cos(4x) = 1$
Khi đó
$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{k\pi}{2}$
Kết hợp hai nghiệm ta có $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$.
Kết luận tập nghiệm là
$S = \left\{ \pm \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \right\}=\left\{{\dfrac{\pi}2+k\pi}\right\}$ $(k\in\mathbb Z)$.