phương trình x^4-2(3m+2)x^2+3m+1=0 có 4 điểm phân biệt cùng lớn hơn -3 khi :

Đáp án:

Phương trình đã cho là phương trình trùng phương.

Phương trình có 4 nghiệm ⇔ Δ > 0, S > 0, P >0

Ta có: Δ = (3m + 2) ² - (3m +1) ² = 6m + 3 > 0.

Suy ra: m > $\frac{-1}{2}$ .

S > 0 ⇔ 3m + 2 > 0 ⇔ m > $\frac{-2}{3}$

P > 0 ⇔ 3m + 1 > 0 ⇔ m > $\frac{-1}{3}$

Vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi m > $\frac{-1}{3}$ (1)

Nếu t là nghiệm của phương trình thì - t cũng là nghiệm của phương trình.

Do đó, để 4 nghiệm phân biệt đều lớn hơn - 3 khi - 3 < x < 3 hay x ² < 9 (với x là nghiệm của phương trình).

Ta có: $x^{2}$ = $\frac{3m + 2 ± √ Δ'}{1}$ (do phương trình đã cho là phương trình trùng phương)

Suy ra: Để $x^{2}$ < 9 ⇔ $\frac{3m + 2 ± √ Δ'}{1}$ < 9

Ta chỉ cần xét trường hợp $\frac{3m + 2 + √ Δ'}{1}$ < 9

Ta có: $\frac{3m + 2 + √ Δ'}{1}$ < 9

⇔ 3m + 2 + $\sqrt[2]{6m+3}$ < 9

⇔ $\sqrt[2]{6m+3}$ < 9 - 3m - 2 = 7 - 3m

⇔ $\left \{ {{7-3m>0} \atop {6m+3<49-42m+ 9m^{2}}} \right.$

⇔ m < $\frac{8-3\sqrt[2]{2}}{3}$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có khoảng giá trị m cần tìm: m ∈ ($\frac{-1}{3}$ ; $\frac{8-3\sqrt[2]{2}}{3}$)