Phương trình $log_{3}\frac{2x-1}{ (x-1)^{2} }=3x^{2} -8x+5$ có hai nghiệm là $a$ và $\frac{a}{b}$ (với $a,b∈N^{*}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $b$ là
2 câu trả lời
`a=2 ; b=3`
`*`
`log_3((2x-1)/(x-1)^2)=3x^2-8x+5`
`↔log_3(2x-1)+2x-1=log_3(x^2-2x+1)+3x^2-6x+4`
`↔log_3(2x-1)+2x-1=log_3(x^2-2x+1)+1+3x^2-6x+3)`
`↔log_3(2x-1)+2x-1=log_3(3x^2-6x+3)+3x^2-6x+3`
`*` Xét hàm `f(t)=log_3t+t` có: `f'(t)=1/(tln3)+1 >0 ∀ t∈R `
`->` Hàm `f(t)=log3t+t` đồng biến trên `R`
`*`
`-> 2x-1=3x^2-6x+3`
`->3x^2-8x+4=0``->`\(\left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=\dfrac{2}{3} \\ \end{array}\right.\)
`*` `a=2` `;` `a/b=2/3 ->b=3`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ĐK:$\dfrac{1}{2}<x\neq 1$
$⇒log_3\dfrac{2x-1}{(x-1)^2}=3x^2-8x+5$
$⇔log_3(2x-1)-log_3(x-1)^2=3(x-1)^2-(2x-1)+1$
$⇔log_3(2x-1)+(2x-1)=3(x-1)^2+log_3(x-1)^2+log_33$
$⇔log_3(2x-1)+(2x-1)=3(x-1)^2+log_3[3(x-1)^2]$ (1)
Xét hàm $y=f(t)=log_3t+t$ với $t>0$ có $f'(t)=\dfrac{1}{tln3}+1>0,∀t>0$
$⇒$Hàm số $y=f(t)$ đồng biến trên $(0;+∞)$
Phương trình $(1):f(2x-1)=f\big(3(x-1)^2\big)⇔2x-1=3(x-1)^2$
$⇔2x-1=3(x^2-2x+1)⇔3x^2-8x+4=0$
$⇔x=2;x=\dfrac{2}{3}$
Vậy phương trình có nghiệm $2$ và $\dfrac{2}{3}$
$⇒a=2;b=3$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
