Như mọi khi, cần người hướng dẫn CMR: Nếu `a_1 ;a_2` là các nghiệm của phương trình `x^2 +px+1=0` và `b_1 ;b_2` là các nghiệm của phương trình `x^2 +qx+1=0` thì: `(a_1 -b_1)(a_2 -b_1)(a_1 +b_2)(a_2 +b_2)=q_2 -p_2`

Có $\begin{cases}a_1+a_2=-p\\a_1a_2=1\\b_1+b_2=-q\\b_1b_2=1\end{cases}$

Từ trên ta thấy ${{a}_{1}}{{a}_{2}}={{b}_{1}}{{b}_{2}}=1$

Ta có tính chất số nào nhân với $1$ cũng bằng chính nó

Nên thay vì nhân với $1$ thì ta sẽ nhân với ${{a}_{1}}{{a}_{2}}$ hoặc ${{b}_{1}}{{b}_{2}}$

Xét $\left( {{a}_{1}}-{{b}_{1}} \right)\left( {{a}_{2}}-{{b}_{1}} \right)$

$=\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}} \right)-\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}} \right)-\left( {{a}_{2}}{{b}_{1}} \right)+\left( b_{1}^{2} \right)$

$=\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}}{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right)-\left( a_{1}^{2}{{a}_{2}}{{b}_{1}} \right)-\left( {{a}_{1}}a_{2}^{2}{{b}_{1}} \right)+\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}}b_{1}^{2} \right)$

$={{a}_{1}}{{a}_{2}}{{b}_{1}}\left( {{b}_{2}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{b}_{1}} \right)$

$={{b}_{1}}\left( p-q \right)$

Tương tự thì $\left( {{a}_{1}}+{{b}_{2}} \right)\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}} \right)={{b}_{2}}\left( -p-q \right)$

Từ đó nhân lại sẽ ra ${{q}^{2}}-{{p}^{2}}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: HD

Với chú ý $ a_{1}a_{2} = b_{1}b_{2} = 1$ thì:

$ (a_{1} - b_{1})(a_{2} + b_{2}) = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}$

$ (a_{2} - b_{1})(a_{1} + b_{2}) = a_{2}b_{2} - a_{1}b_{1}$

Lấy 2 đẳng thức trên nhân vế vào nhau thì 

$ VT = VP = (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) - (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) = q^{2} - p^{2}$