Nguyên hàm của x^3/x+2

Đáp án:

\[\int {\frac{{{x^3}}}{{x + 2}}dx}  = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4x - 8\ln \left| {x + 2} \right|\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\int {\frac{{{x^3}}}{{x + 2}}dx} \\
 = \int {\frac{{\left( {{x^3} + 8} \right) - 8}}{{x + 2}}dx} \\
 = \int {\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - 8}}{{x + 2}}dx} \\
 = \int {\left( {{x^2} - 2x + 4 - \frac{8}{{x + 2}}} \right)dx} \\
 = \int {{x^2}dx}  - 2\int {xdx}  + 4\int {dx}  - 8\int {\frac{{dx}}{{x + 2}}} \\
 = \frac{1}{3}{x^3} - 2.\frac{{{x^2}}}{2} + 4x - 8.\ln \left| {x + 2} \right|\\
 = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4x - 8\ln \left| {x + 2} \right|
\end{array}\)

Vậy \(\int {\frac{{{x^3}}}{{x + 2}}dx}  = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4x - 8\ln \left| {x + 2} \right|\)