Nguyên hàm của dx/1-sin2x

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ I = \int\limits{\dfrac{1}{1 - sin2x}} \, dx = \int\limits{\dfrac{1 + sin2x}{1 - sin^{2}2x}} \, dx$

$ = \int\limits{\dfrac{1 + sin2x}{cos^{2}2x} } \, dx = \int\limits{\dfrac{1}{cos^{2}2x}} \, dx + \int\limits{\dfrac{sin2x}{cos^{2}2x}} \, dx$

$ = \dfrac{tan2x}{2} + \dfrac{1}{2cos2x} + C$

$ = \dfrac{1 + sin2x}{2cos2x} + C$
Hoặc:

Đặt $ I = \int\limits{\dfrac{1}{1 - sin2x}} \, dx; J = \int\limits{\dfrac{1}{1 + sin2x}} \, dx$

$I + J = \int\limits{(\dfrac{1}{1 - sin2x} + \dfrac{1}{1 + sin2x})} \, dx = \int\limits{\dfrac{2}{cos^{2}2x}} \, dx = tan2x + C_{1} (1)$

$ I - J = \int\limits{(\dfrac{1}{1 - sin2x} - \dfrac{1}{1 + sin2x})} \, dx = \int\limits{\dfrac{2sin2x}{cos^{2}2x}} \, dx = \dfrac{1}{cos2x} + C_{2}(2)$
$ (1) + (2) : 2I = tan2x + \dfrac{1}{cos2x} + C_{1} + C_{2}$

$ ⇒ I = \dfrac{ sin2x + 1}{2cos2x} + C$; $ J = \dfrac{ sin2x - 1}{2cos2x} + C$