Nguyên hàm [(2x+5)/(x+2)^2]dx

Đáp án: $2\ln (x + 2) - \frac{1}{{x + 2}}$

Giải thích các bước giải:

$\eqalign{   & \int {\frac{{2x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}}} dx  \cr    &  = \int {\frac{{2(x + 2)}}{{{{(x + 2)}^2}}}dx + \int {\frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}d(x + 2)} }   \cr    &  = \int {\frac{2}{{x + 2}}d(x + 2) + \frac{{ - 1}}{{x + 2}}}   \cr    &  = 2\ln (x + 2) - \frac{1}{{x + 2}} \cr} $

Đáp án:

$I = 2\ln \left| {x + 2} \right| - \frac{1}{{x + 2}} + C.$

Giải thích các bước giải:

 Đáp án:

 \(m = \frac{1}{3}\)

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {0;\,\,4} \right),\,\,\,C\left( {3;\,\,2} \right),\,\,D\left( {m;\,\,1} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AD}  = \left( {m - 1;\,\, - 1} \right)\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 2} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \overrightarrow {AD}  \bot \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
 \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right) + 1.2 = 0\\
 \Leftrightarrow 3m - 3 + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow 3m = 1\\
 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}.
\end{array}$

\(I = \int {\frac{{2x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx}  = \int {\left( {\frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)dx} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow 2x + 5 = A\left( {x + 2} \right) + B\end{array}\)

+) Với \(x =  - 2 \Rightarrow B = 1.\)

+) Với \(x = 0 \Rightarrow 5 = 2A + 1 \Rightarrow A = 2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {\frac{{2x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx}  = \int {\left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\ln \left| {x + 2} \right| - \frac{1}{{x + 2}} + C.\end{array}\)