Một vật nhỏ, có khối lượng m = 160 g, đặt trên mặt bàn nằm ngang, và được gắn vào lò xo có độ cứng k = 40 N/m (như hình vẽ). Tại thời điểm t0 = 0, từ trạng thái lò xo không biến dạng, đầu trên của lò xo được kéo đi lên theo phương thẳng đứng với tốc độ không đổi v0 = 50 cm/s. Đến thời điểm t = 0,73 s thì đầu trên dừng lại đột ngột. Lấy g = π2 = 10 m/s2 . Độ cao cực đại mà vật lên được so với mặt bàn gần với giá trị nào nhất sau đây?

Đáp án:

Độ cao cực đại của vật khoảng 0,413m = 41,3cm 

Giải thích các bước giải:

50cm/s = 0,5m/s

Chu kỳ của dao động là:

\[T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,16}}{{40}}}  = 0,4s\]

Vị trí cân bằng cách vị trí lò xo không biến dạng là:

\[\Delta {l_o} = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{{0,16.10}}{{40}} = 0,04m\]

Biên độ của dao động là:

\[A = \sqrt {\Delta {l_o}^2 + \dfrac{{{v_o}^2}}{{{\omega ^2}}}}  = \sqrt {0,{{04}^2} + \dfrac{{0,{5^2}}}{{\dfrac{{40}}{{0,16}}}}}  = 0,051m\]

Độ cao mà lò xo lên được là:

\[h = {v_o}t = 0,5.0,73 = 0,365m\]

Ta có:

\[t = 0,73s = 1,825T = T + 0,5T + 0,325T\]

Vì qua 1 chu kỳ vật trở lại vị trí ban đầu, qua 1 nửa chu kỳ đi được 2A nên sau 1,5T thì vật ở vị trí cách vị trí cân bằng một đoạn đúng bằng khoảng cách ban đầu nhưng li độ âm.

Ở 0,375T cuối góc quay được của dao động là:

\[\Delta \varphi  = 0,65\pi \left( {rad} \right) = {117^o}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\cos {\varphi _o} = \dfrac{{\Delta {l_o}}}{A} = \dfrac{{0,04}}{{0,051}} = 0,7843 \Rightarrow {\varphi _o} = 38,{34^o}\\
\varphi ' = {117^o} - \left( {{{90}^o} - 38,{{34}^o}} \right) = 65,{34^o}
\end{array}\]

Li độ của vật lúc dừng đột ngột là:

\[x = A\cos \varphi ' = 0,051.\cos 65,{34^o} = 0,0213m\]

Vận tốc lúc đó là:

\[v = \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}}  = \sqrt {\dfrac{{40}}{{0,16}}} .\sqrt {0,{{051}^2} - 0,{{0213}^2}}  = 0,7327m/s\]

Độ cao cực đại mà vật lên được so với mặt đất là:

\[\begin{array}{l}
mg{h_{\max }} = mg\left( {h + x} \right) + \dfrac{1}{2}m{v^2}\\
 \Leftrightarrow {h_{\max }} = h + x + \dfrac{{{v^2}}}{{2g}}\\
 \Leftrightarrow {h_{\max }} = 0,365 + 0,0213 + \dfrac{{0,{{7327}^2}}}{{2.10}} = 0,413m
\end{array}\]