một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trị của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Vẽ đường cao $AH$ của $ΔABC$

Đặt $BC = a > 0; AH = h > 0$ không đổi ta có:

$ MN = PQ = x; MQ = NP = y$

Ta có $: \dfrac{y}{h} = \dfrac{MQ}{AH} = \dfrac{BM}{BH} = \dfrac{CN}{CH}$

$ = \dfrac{BM + CN}{BH + CH} = \dfrac{BC - MN}{BC} = \dfrac{a - x}{a}$

$ ⇒  \dfrac{xy}{h} = \dfrac{x(a - x)}{a}$

$ ⇔ S_{MNPQ} = xy = \dfrac{h}{4a}[4x(a - x)]$

$ ≤ \dfrac{h}{4a}[x + (a - x)]² = \dfrac{ah}{4} = \dfrac{1}{2}S_{ABC}$

Vậy $GTLN$ của $S_{MNPQ} = \dfrac{1}{2}S_{ABC}$

xảy ra khi $ x = a - x ⇔ x = \dfrac{a}{2} ⇔ y = \dfrac{h}{2}$

$ ⇔ M$ là trung điểm $BH$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Vẽ đường cao AHAH của ΔABCΔABC

Đặt BC=a>0;AH=h>0BC=a>0;AH=h>0 không đổi ta có:

MN=PQ=x;MQ=NP=yMN=PQ=x;MQ=NP=y

Ta có :yh=MQAH=BMBH=CNCH:yh=MQAH=BMBH=CNCH

=BM+CNBH+CH=BC−MNBC=a−xa=BM+CNBH+CH=BC−MNBC=a−xa

⇒xyh=x(a−x)a⇒xyh=x(a−x)a

⇔SMNPQ=xy=h4a[4x(a−x)]⇔SMNPQ=xy=h4a[4x(a−x)]

≤h4a[x+(a−x)]²=ah4=12SABC≤h4a[x+(a−x)]²=ah4=12SABC

Vậy GTLNGTLN của SMNPQ=12SABCSMNPQ=12SABC

xảy ra khi x=a−x⇔x=a2⇔y=h2x=a−x⇔x=a2⇔y=h2

⇔M⇔M là trung điểm BHBH