Một bán cầu bán kính R, tích điện đều với mật độ điện mặt Ф, được đặt trong không khí. Cường độ điện trường tại tâm bán cầu là:

Đáp án:

\(E = \dfrac{{k\Phi \pi }}{3}\) 

Giải thích các bước giải:

Chọn gốc tọa độ tại tâm O của bán cầu.

Xét một vành điện tích trên bán cầu ta có:

\[dq = \Phi dS = \Phi \pi {r^2}dx = \Phi \pi \left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx\]

Điện trường do vành điện đó gây ra tại tâm O là:

\[dE = \dfrac{{kdq}}{{{R^2}}}.\cos \alpha  = \dfrac{{kdq}}{{{R^2}}}.\dfrac{x}{R} = \dfrac{{kxdq}}{{{R^3}}} = \dfrac{{kx\Phi \pi \left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx}}{{{R^3}}}\] 

Ta lấy tích phân cho công thức trên thu được kết quả:

\[\begin{array}{l}
E = \dfrac{{k\Phi \pi }}{{{R^3}}}\int\limits_0^R {x\sqrt {{R^2} - {x^2}} dx} \\
 = \dfrac{{k\Phi \pi }}{{2{R^3}}}\int\limits_0^R {\sqrt {{R^2} - {x^2}} d{x^2}} \\
 =  - \dfrac{{k\Phi \pi }}{{2{R^3}}}\int\limits_0^R {\sqrt {{R^2} - {x^2}} d\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} \\
 =  - \dfrac{{k\Phi \pi }}{{2{R^3}}}.\dfrac{2}{3}\left( {\sqrt {{{\left( {{R^2} - {R^2}} \right)}^3}}  - \sqrt {{{\left( {{R^2} - 0} \right)}^3}} } \right)\\
 = \dfrac{{k\Phi \pi }}{3}
\end{array}\]