Mọi người giúp mình câu này với Cho đa giác lồi 100 cạnh A1A2,...A100. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác đó chứa 97 điểm còn lại

Giả sử có góc ∠A1AxA2 là góc bé nhất khi nối các điểm lại với nhau

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác A1AxA2

Ta cần chứng minh 97 điểm còn lại phải nằm trong đường tròn đó

* Nếu có điểm Ay nằm trên đường tròn

⇒ ∠A1AyA2 = ∠A1AkA2 (Cùng chắn cung A1A2)

* Nếu có điểm Ay nằm ngoài đường tròn

Xét tam giác A1A2Ay nếu Ay nằm trên đường tròn và Ay nằm ngoài đường tròn

A1A2 có độ dài không đổi

Ay nằm ngoài sẽ có khoảng cách tới A1 và A2 lớn hơn Ay nằm trên đường tròn

⇒ ∠A1AkA2=∠A1AyA2(trên)>∠A1AyA2(ngoài)

mà ta đang xét trường hợp Ay nằm ngoài đường tròn

⇒A1AyA2<∠A1AkA2

nhưng ở đầu bài, giả sử ∠A1AkA2 là góc bé nhất khi nối các điểm lại với nhau

⇒ Vô lí

⇒ Ay nằm ngoài đường tròn không xảy ra

Vậy tồn tại tam giác mà đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy chứa 97 điểm còn lại