Mọi người giúp mình câu này với ạ, cảm ơn mọi người nhiều $\int\limits^\pi_0 {\frac { cos(2n+1)x}{cosx}} \, dx$, n ∈ N*

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với $ k ∈ N^{*} $ ta có:

$ \dfrac{cos(2k + 1)x + cos(2k - 1)x}{cosx} = \dfrac{2cos2kxcosx}{cosx} = 2cos2kx$ 

$ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k + 1)x + cos(2k - 1)x}{cosx} } \, dx $

$ = \int\limits^π_0 {2cos2kx} \, dx = \dfrac{1}{k}sin2kx|^{π}_{0} = 0$ 

$ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k + 1)x}{cosx} } \, dx = - \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2k - 1)x}{cosx} } \, dx$

Do đó:

$ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos3x}{cosx} } \, dx = - \int\limits^π_0 {\dfrac{cosx}{cosx} } \, dx = - \int\limits^π_0 {} \, dx = - x|^{π}_{0} = - π (1)$

$ - \int\limits^π_0 {\dfrac{cos5x}{cosx} } \, dx = \int\limits^π_0 {\dfrac{cos3x}{cosx} } \, dx(2)$

$ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos7x}{cosx} } \, dx = - \int\limits^π_0 {\dfrac{cos5x}{cosx} } \, dx(3)$

$............................................$

$ ( - 1)^{n + 1} \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = (- 1)^{n}\int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n - 1)x}{cosx} } \, dx (n)$

$(1) + (2) + ...+(n): ( - 1)^{n + 1} \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = - π$

$ ⇒ \int\limits^π_0 {\dfrac{cos(2n + 1)x}{cosx} } \, dx = ( - 1)^{n}π$