Log cơ số 4 của x < log cơ số 2 của 6-x . Tìm nghiệm nguyên

ĐK: $x > 0$ và $x < 6$ hay $x \in (0,6)$.

Ta có

$\log_4 x < \log_2 (6-x)$

$<-> \log_{2^2} x < \log_2 (6-x)$

$<-> \dfrac{1}{2} \log_2 x < \log_2 (6-x)$

$<-> \log_2 x < 2\log_2 (6-x)$

$<-> \log_2 x < \log_2 (6-x)^2$

Do cơ số lớn hơn 1 nên ta có bpt tương đương vs

$x < (6-x)^2$

$<-> x^2 -13x + 36 > 0$

Vậy $x > 9$ hoặc $x < 4$
Kết hợp vs đk ban đầu ta có $x \in (0,4)$.

Đáp án:

 $0<x<4$

Giải thích các bước giải:

$ĐKXĐ: \quad 0<x<6$

 $\begin{split}log_4x<log_2(6-x)&\leftrightarrow \dfrac{1}{2}log_2x<log_2(6-x)\\&\leftrightarrow log_2x<2log_2(6-x)\\&\leftrightarrow log_2x<log_2(6-x)^2\\&\leftrightarrow x<(6-x)^2\\&\leftrightarrow x^2-13x+36>0\\&\leftrightarrow (x-4)(x-9)>0\\&\leftrightarrow x<4\text{ do 0<x<6}\end{split}$

$\rightarrow 0<x<4$