Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= 3x+2/x-4. A. Tìm ymaxx, ymin trên đoạn [0;3]. B. viết pttt tại điểm có tung độ =4

Đáp án:

Phương trình tiếp tuyến \(y =  - \dfrac{1}{{14}}x + \dfrac{{37}}{7}\).

Giải thích các bước giải:

Hàm số \(y = \dfrac{{3x + 2}}{{x - 4}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).

Ta có \(y' = \dfrac{{3.\left( { - 4} \right) - 1.2}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 14}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\).

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;4} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }  = 3 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số nhận \(y = 3\) là TCN.

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} y = \infty  \Rightarrow \) Đồ thị hàm số nhận \(x = 4\) làm TCĐ.

BBT:

Tham khảo hình vẽ:

Đồ thị hàm số:

Tham khảo hình vẽ:

Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;3} \right)\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) =  - \dfrac{1}{2},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) =  - 11\).

Thay \(y = 4\) ta có: \(4 = \dfrac{{3x + 2}}{{x - 4}} \Leftrightarrow 3x + 2 = 4x - 16 \Leftrightarrow x = 18\).

\( \Rightarrow y'\left( {18} \right) = \dfrac{{ - 14}}{{{{\left( {18 - 4} \right)}^2}}} =  - \dfrac{1}{{14}}\).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y =  - \dfrac{1}{{14}}\left( {x - 18} \right) + 4 =  - \dfrac{1}{{14}}x + \dfrac{{37}}{7}\).