hỏi có bao nhiêu số nguyê m để hàm số y=($m^{2}$ -1) $x^{3}$ +(m-1) $x^{2}$ -x+4 nghịch biến trên R
2 câu trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`y=(m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x+4`
a/ `m^2-1=0 ⇔ m=\pm 1`
+) `m=-1`
`y=-2x^2-x+4`
Hàm số có đồng biến tại `(-\infty;-1/4)` nên `m=-1` không thỏa mãn
+) `m=1`
`y=-x+4`
Hàm số luôn nghịch biến trên `\mathbb{R}` nên `m=1` thỏa mãn
b/ `m \ne \pm 1`
`y'=3(m^2-1)x^2+2(m-1)x-1`
Để HS luôn nghịch biến trên `\mathbb{R}`
\(\begin{cases} a < 0 \\ \Delta'_{y'} \le 0\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} 3(m^2-1) < 0 \\ (m-1)^2+3(m^2-1) \le 0\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} -1 < m < 1 \\ m^2-2m+1+3m^2-3 \le 0\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} -1 < m < 1 \\ 4m^2-2m-2 \le 0\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} -1 < m < 1 \\ -\dfrac{1}{2} \le m \le 1\end{cases}\)
`⇔ -\frac{1}{2} \le m < 1` kết hợp TH1
`⇒ -\frac{1}{2} \le m \le 1`
Mà `m \in \mathbb{Z} ⇒ m \in {0;1}`
Vậy có 2 giá trị nguyên của m để hàm số `y=(m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x+4` luôn nghịch biến trên `\mathbb{R}`