Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC=2BD và tam giác SAD vuông cân tạu S, nằm trong mp vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp ABCD

Giả sử $AC=2BD=2a$

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AD$

$\Rightarrow SH\bot AD$

$SH\bot(ABCD)$

Gọi $O=AC\cap BD$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $AOD$

$AD^2=AO^2+OD^2=a^2+(\dfrac{a}{2})^2=\dfrac{5a^2}{4}$

$\Rightarrow AH^2=\dfrac{5a^2}{16}$

$\Delta $ vuông $SAD$:

$SA^2+SD^2=AD^2$

$\Rightarrow 2SA^2=\dfrac{5a^2}{4}$

$\Rightarrow SA^2=\dfrac{5a^2}{8}$

$\Delta$ vuông $ SAH$

$SH^2=SA^2-AH^2=\dfrac{5a^2}{8}-\dfrac{5a^2}{16}=\dfrac{5a^2}{16}$

$\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt5}{4}$

$\Rightarrow V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt5}{4}\dfrac{a.2a}{2}=\dfrac{a^3\sqrt5}{12}$.

Giải thích các bước giải:

Dễ dàng chứng minh ABD và BCD là tam giác đều . ( Hình thoi ABCD cạnh a )

=> S ( ABCD ) = √3 / 2 a^2

Hạ SH vuông góc với AD => SH = 1/2 AD = a/2

=> V. ( SABCD) = 1/3.√3 /2.1/2.a^3= √3 / 12 a^3