hàm số y=2x^3 + (m+1) x^2 -2(m+4)x+1 có 2 ddiem cuc tri x1,x2 thóa x1^2+x2^2<=2 khi

Đáp án: $ - 7 < m \le  - 1$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
y = 2{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right).x + 1\\
 \Leftrightarrow y' = 6{x^2} + 2\left( {m + 1} \right).x - 2\left( {m + 4} \right)\\
Khi:6{x^2} + 2\left( {m + 1} \right).x - 2\left( {m + 4} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + 12\left( {m + 4} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 12m + 48 > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 49 > 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m + 7} \right)^2} > 0\\
 \Leftrightarrow m\#  - 7\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - m - 1}}{3}\\
{x_1}{x_2} =  - \dfrac{{m + 4}}{3}
\end{array} \right.\\
x_1^2 + x_2^2 \le 2\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \le 2\\
 \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{{m + 1}}{3}} \right)^2} - 2.\dfrac{{ - m - 4}}{3} \le 2\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} + 2m + 1}}{9} + \dfrac{{2m + 8}}{3} - 2 \le 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 6m + 24 - 18 \le 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 7 \le 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 7} \right) \le 0\\
 \Leftrightarrow  - 7 \le m \le  - 1\\
Do:m\#  - 7\\
Vậy\, - 7 < m \le  - 1
\end{array}$